تابع دلتا و پاسخ ضربه

در مقاله مربوطه به تفکیک ضربه ای سیگنال نشان دادیم که یک سیگنال دیجیتالی را می توان به مجموعه ای از سیگنال های ضربه تفکیک کرد. قبل از آن که به بررسی نحوه اعمال یک سیستم خطی بر روی سیگنال دیجیتالی بپردازیم دو تعریف پایه ای در خصوص سیگنال های دیجیتالی را بررسی می کنیم.

تعریف اول تابع دلتا می باشد که آن را با نماد یونانی δ نشان می دهیم. همانطور که در شکل نیز مشاهده می کنید تابع به جز در x=0 که دارای مقدار به خصوصی است، در بقیه نقاط مقداری برابر با صفر دارد. برای کاربرد ما در پردازش سیگنال ، تابع دلتا در نقطه x=0 مقداری برابر 1 خواهد داشت. به همین دلیل تابع دلتا را تابع ضربه واحد نیز می نامیم.

تعریف دوم مفهوم پاسخ ضربه می باشد. همانطور که از اسم آن پیداست پاسخ ضربه ، سیگنال خروجی سیستم است زمانی که ورودی آن تابع ضربه واحد ( دلتا ) باشد. نکته حاأز اهمیت این است که دو سیستم متفاوت ، پاسخ های ضربه متفاوتی نیز خواهند داشت. شکل روبرو پاسخ ضربه یک سیستم را نشان می دهد (در ادامه این بخش پاسخ ضربه سیستم را با h نشان می دهیم).

سبگنال ضربه a را در نظر بگیرید که در همه نقاط به جز x=8،سیگنال مقداری برابر با صفر دارد. همچنین مقدار سیگنال در x=8 نیز برابر با عدد 3- است. به عبارت دیگر می توان نوشت :

F(x) = 0      x <> 8
      -3      x = 8

رابطه زیر نشان می دهد که چگونه می توان سیگنال مذکور را به شکل یک سیگنال دلتا نشان داد :

F(x) = -3 δ(x-8)

یعنی ابتدا سیگنال دلتا را 8 واحد در جهت مثبت محور xها انتقال داده و سپس اندازه آن را 3- برابر کردیم. هر سیگنال ضربه را می توان با استفاده از همین روش به صورت یک تابع دلتا نشان داد. در ابتدای مقاله تعریف کریدم که منظور از پاسخ ضربه همان خروجی سیستم به ازای ورودی ضربه واحد (دلتا) می باشد. حال این سوال مطرح می گردد که اگر ورودی سیستم تابعی همانند:

-3δ(x-8)

باشد، خروجی سیستم خطی چگونه خواهد بود. یکی از خصوصیات سیستم های خطی این است که هرگونه انتقال و تغییر مقیاس در ورودی موجب همان اندازه انتقال و تغییر اندازه در خروجی خواهد بود. این بدان معنی است که اگر یک سیستم خطی به ازای ورودی δ خروجی h را تولید می کند به ازای وروردی:

-3δ(x-8)

نیز خروجی:

-3h(x-8)

را تولید خواهد کرد. به عبارت دیگر پاسخ ضربه نیز به همان اندازه در خروجی انتقال یافته و تغییر مقیاس می دهد. نتیجه اینکه اگر پاسخ ضربه یک سیستم را بدانیم به راحتی می توان خروجی سیستم به ازای هر سیگنال ضربه را به دست آوریم.